论杜氏九术通弧求通弦论曰：设有弧析分至极多，所析之分必极细，此极细一弧通弦几与弧合，以极多分乘之，即原设通弧。今以通弧求通弦，是以所析极细一分弧通弦，而求原设多分弧通弦，则一分为分母，多分为分子，乃倍分求弦术也。以通弧为第一数，寄左。
论曰：第一数本宜置通弦，以分子乘之，分母除之，今极细弧通弦乘分子，即原设通弧，分母又为一，不须除，故即以通弧为第一数。次以半径为连比例第一率，通弧为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率。
论曰：求三率，本宜以极细弧通弦为二率，自乘之一率除之，得三率。今用原设通弧代为二率，是二率为分子乘过数，求得三率，必为分子自乘乘过数。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第四率，四除之，又二除之，三除之，为第二数，应减。寄右。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第六率，四除之，又四除之，五除之，为第三数应加。寄左。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第八率，四除之，又六除之，七除之，为第四数，应减。寄右。
论曰：递次乘法，本应取分子母各自乘相减数。今分子极多，自乘后则愈多，分母又为一，不烦乘，祇须减一九、二十五等数，是减数甚微，可不必减。其实弦求弦乘法有减数，弧求弦乘法无减数，非不必减，本不应减也。盖减数生于分母之一，虽分母极细，分子极多，而终有分在弦，究微歉于弧。若浑与弧合，则必芜分可析，无子母可名分子。即通弧分母并无其一，无其一，是无。减数矣，故但以分子自乘为乘法，又递求各数，本宜置前数，以三率乘之，一率除之，得后率本数。又以用数乘除法乘除之，始为后数。而今所用三率，己为分子自乘乘过数。分子自乘者，用数乘法也；三率者，本数乘法也。是今之三率实兼有两种乘法，以乘前数，业合两次乘为一次乘矣，故以两种除法递除之，即得后数也。
第一数、第三数相并，第二数、第四数相井，左右相减，所余即通弦。
论曰：三率中所藏分子自乘，乃负乘法也。乘正数为异名所得者负数；乘负数为同名所得者正数。故数常正负相闲，正寄左，负寄右，各并之，而左右相减，是于正数中减去负数，始得通弦也。通弧求矢论曰：矢居通弧之半，又以半弧为本弧，而通弧得其倍。今以通弧求矢，是析通弧至极多分，使一分通弦与弧合极多之总分乘之，即通弧。因以一分弧通弦求总分之半弧矢一分为分母，总分之半为分子。以半径为连比例，第一率，通弧为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率。
论曰：如倍分术，宜取一分通弦为二率，今以通弧代之，是二率为总分，乘过数，亦即为倍。分子乘过数，求得三率，必为四倍分子自乘乘过数，四除之，又二除之，为第一数寄左。
论曰：如倍分术，宜以分子自乘乘倍矢，为第一数。今所得三率即倍矢。惟为分子自乘乘过数，而又多四倍，故宜四除。又所求乃正矢，得数后宜折半，先半之，故复二除也。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第五率，四除之，又三除之。四除之，为第二数，应减寄右。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第七率，四除之，又五除之，六除之，为第三数，应加寄左。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第九率，四除之，又七除之，八除之，为第四数，应减寄右。第一数、第三数相并，第二数、第四数相并，左右相减，所余即矢。论曰：递次求数，矢术本无四除，今有此除者，以所用三率乃四倍分子自乘乘三率数，三率为本数乘法，分子自乘为用数乘法，是兼有两种乘法，而又多四倍，宜除去之也。
余与通弦术同。
弧背求正弦论曰：通弦折半为正弦，是正弦乃半通弦也。应以通弧为本弧，而弧背得其半。今以弧背求正弦，是析弧背至极多分，使一分通弦与弧合极多之总分乘之，即弧背。因以一分弧通弦求总分之倍弧，半通弦一分为分母，总分之倍为分子，亦倍分求弦术也。以弧背为第一数，寄左。
论曰：如倍分术，宜以分子乘一分通弦，为第一数。若求正弦，宜折半，今弧背本即半分子乘一分通弦，故即为第一数。次以半径为连比例第一率，弧背为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率。
论曰：本宜取一分通弦为二率，以求三率，今用弧背代之，是二率为总分，乘过数，亦即为半分子乘过数，求得三率，必为分子自乘四之一乘过数。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第四率，二除之，三除之，为第二数，应减寄右。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第六率，四除之，五除之，为第三数，应加寄左。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第八率，六除之，七除之，为第四数，应减寄右。第一数、第三数相并，第二数、第四数相并，左右相减，所余即正弦。论曰：递次求数弦术，本有四除，今无此除者，以所用三率为分子自乘四之一乘过数，是兼有两种乘法，而四已除过，不烦再除也。余与通弧求通弦术同。
弧背求正矢论曰：正矢与弧背相当，弧背即其本弧。今以弧背求正矢，是析弧背至极多分，使一分通弦与弧合极多之总分乘之，即弧背。因以一分弧通弦求总分弧正矢一分为分母，总分为分子，亦倍分求矢术也。以半径为连比例，第一率，弧背为第二率，二率自乘，一率除之，为第三率。
论曰：如倍分术，宜取一分通弦为二率，以求三率。今用弧背代之，是二率为总分，乘过数，亦即为分子乘过数，求得三率，必为分子自乘乘过数，二除之，为第一数寄左。
论曰：本宜以分子自乘乘倍矢为第一数，今所用三率，即倍矢，已为分子自乘乘过，所求乃正矢，故须二除。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二数，应减寄右。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第七率，五除之，六除之，为第三数，应加寄左。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第九率，七除之，八除之，为第四数，应减寄右。第一数、第三数相并，第二数、第四数相并，左右相减，所余即正矢。论曰：递次求数，无四除，乃求矢本法。以正矢之本弧，即弧背也。余与通弧求矢术同。
通弦求通弧论曰：通弧即通弦之本弧。以通弦求通弧，是析通弧至极多分，使一分通弦与弧合，则通弧为极多之总分，取其通弦以求一分弧。通弦总分乘之，得通弧一分为分子，总分为分母，乃析分求弦术也。以通弦为第一数。
论曰：析分术第一数，本宜置通弦，以分母除之，但所求乃通弧，得诸数后，尚需乘以分母，今先于第一数不除，以代其乘，明诸数皆为分母乘过数，并之即通弧矣。故即以通弦为第一数。次以半径为连比例，第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率。
论曰：本宜分母除通弦为二率，以求三率，今不除，是二率为分母乘过数，求得三率，必为分母自乘乘过数。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第四率，四除之，又二除之，三除之，为第二数。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第六率九乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三数。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第八率二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四数。次置第四数，以三率乘之，一率除之，得第十率四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，为第五数。
论曰：析分术乘法，宜置分母自乘，一乘减一，求第二数，九乘减一，求第三数，二十五乘减一，求第四数。今分母自乘已极其多，增乘后则愈多，所减祇一，可不必减。实则析分至浑与弧合，并无分子之一，本不应减。又今所用三率，己为分母自乘乘过数，但少九乘、二十五乘、四十九乘等，故递次增此一乘也。以诸数相并，即通弧。论曰：分母自乘为正乘法，乘法正，得数皆正，故迳并诸数为通弧。
矢求通弧论曰：半通弧为矢之本弧，今以矢求通弧，是析通弧至极多分，使一分通弦与弧合，乃以极多总分半之，取其弧正矢，以求一分弧，倍矢为三率，复求二率通弦总分乘之，得通弧，则一分为分子，总分之半为分母，乃析分求矢术也。
以矢八乘之，为第一数。
论曰：所欲求者通弧，而假以求者，乃一分倍矢，又必为四倍分母自乘，乘过数，而后半径乘之，开方，即通弧。求一分倍矢，本宜以分母自乘除本弧倍矢为第一数，今不除以代乘，即为分母自乘乘过数，而尚少四倍，应四乘之。又所用乃正矢，应二乘之，二四相乘得八，故八乘始为第一数。次以半径为连比例第一率，八乘矢，为第三率。
论曰：本宜以分母自乘除倍矢为三率，若不除而但倍其矢，则三率中藏分母自乘，已兼有两种乘法，递次求数，可无四除。今因术中通弧与弦矢相求，槪有四除，故三率先增四倍也。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第五率，四除之，又三除之，四除之，为第二数。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第七率四乘之，四除之，又五除之、六除之，为第三数。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第九率九乘之，四除之，又七除之，八除之，为第四数。
次置第四数，以三率乘之，一率除之，得第十一率十六乘之，四除之，又九除之，十除之，为第五数。
论曰：如前论乘法，不应减一，迳用分母自乘，今所用三率己兼有之，但少四乘、九乘、十六乘等，故递次增乘也。以诸数相并，又为连比例，第三率与第一率半径相乘，开平方，得第二率，即通弧。论曰：第一数为四倍分母自乘乘过数递得诸数，莫不皆然，并之即为一分，倍矢乘分母自乘之四倍，半径乘之得一分，通弦自乘乘分母自乘之四倍，开方得一分，通弦乘分母之二倍，即通弧也。
正弦求弧背论曰：音弧背为通弦本弧，亦即为正弦本弧。今以正弦求弧背，是析弧背至极多分，使一分通弦与弧合，乃以极多之总分倍之，取其弧通弦求一分弧通弦极多分乘之，得弧背，则一分为分子，总分之倍为分母，亦析分求弦术也。以正弦为第一数。
论曰：如析分第一数，本宜分母除通弦，而半分母除正弦，得数亦同，今不除，即以正弦为第一数，是为半分母乘过数。次以半径为连比例第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率。
论曰：第二率本宜分母除通弦，亦可以半分母除正弦，今即用正弦，是二率为分母之半，乘过数，求得三率，必为分母自乘四之一乘过数。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第四率，二除之，三除之，为第二数。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第六率九乘之，四除之，五除之，为第三数。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第八率二十五乘之，六除之，七除之，为第四数。次置第四数，以三率乘之，一率除之，得第十率四十九乘之，八除之，九除之，为第五数。以诸率相并，即弧背。论曰：所用三率，既为分母自乘四之一乘过数，是兼有两种乘法，而少四倍，故乘后不烦四除也。余均与通弦求通弧术同。
正矢求弧背论曰：弧背既矢之本弧，以正矢求弧背，是析弧背至极多分，使一分通弦与弧合，则弧背为极多之总分。取其正矢，以求一分弧倍矢一率乘之，开七得一分，弧通弦总分乘之，得弧背一分为分子，总分为分母，亦析分求矢术也。以正矢倍之为第一数。
论曰：第一数本宜分母自乘除倍矢，今不除而但倍其矢，是为分母自乘乘过数。次以半径为连比例第一率，倍正矢为第三率。
论曰：三率与第一数等，亦为分母自乘乘过数。次置第一数，以三率乘之，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二数。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第七率四乘之，五除之，六除之，为第三数。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第九率九乘之，七除之，八除之，为第四数。次置第四数，以三率乘之，一率除之，得第十一率十六乘之，九除之，十除之，为第五数。论曰：递次求数，无四除，乃求矢本法，以弧背为矢本弧故也。余与矢求通弧术同。以诸数相并，又为连比例第三率，与一率半径相乘，开平方，得第二率，即弧背。论曰：并诸数得一分，倍矢乘分母自乘数，半径乘之，得一分，通弦自乘乘分母自乘数，开方，得一分，通弦乘分母数，即弧背也。
圜径求周论曰：六十度通弦即半径，其通弧为圜周六之一，今以圜径求，则是半其径为六十度通弦，求得通弧，六乘之而得周也。即通弦求通弧术，亦即析分求弦术，以径三乘之，为第一数。
论曰：如通弦求通弧为第一数，即用半径。但今所知为全径，应以二除；所求为全周，应先六乘二除，六乘与三乘等，故三乘径为第一数。
次置第一数四除之，又二除之，三除之，为第二数。次置第二数九乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三数。次置第三数二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四数。次置第四数四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，为第五数。次置第五数八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，为第六数。
论曰：通弦既即半径，则诸率齐同，连比例本数之乘除递次可以省去，即用数乘法中分母自乘，亦随省去，故仅以增乘之一九、二十五等为乘法，而以用数除法除之也。若以千万为圜径，则求至第十一数，并之得三千一百四十一万五千九百二十六，即圜周。
论曰：第一数己乘为六倍，即递得之，诸数皆然，并之必得六十度通弧之六倍，即圜周也。得数递次渐降。今约圜径千万为例，计共八位，求至第十一数，已抵单位，不烦再求。若增求之，位愈多，数亦愈密。
总论曰：弧与弦矢不相通，通之以极细分，极细分，通弦即弧，倍矢即弧，为二率之三率。但本弧与极细弧，其弦矢可互求，即弧与弦矢亦可互求。此董氏倍分析分四术，实为此九术之原。今。更以分子母核之，而其理益显。盖弦、矢，方边也，弧，圜线也。方有尽，圜无尽，分之设也，可有尽，而亦可无尽。假其有尽者察数之变，而还其无尽者，得理之通，弧与弦矢乃无可复遁。此割圜之能事，至九术而极，而非有分子母，亦无以启其秘而发其扃也。象数一原卷五刊误。第四叶右正减二句原无，依项氏手稿补。第八叶右第四行注第四数原作五，今正。第二十叶右第七行扃原作扁，今正。象数一原卷五终，仁和高云麟，新阳赵元益同校，长洲王季同重校。
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